Christoph Vetter wurde in Coburg geboren. Von 2011 bis 2015 studierte er an der Hochschule für Musik und Theater in Hamburg. Bereits vor seinem Studium spielte er in verschiedenen Produktionen, unter anderem in Mond.Finsternis.Asphalt. im Bockenheimer Depot Frankfurt am Main. Während seines Studiums spielte er auf Kampnagel, am Thalia in der Gaußstraße und im Malersaal am Deutschen SchauSpielHaus Hamburg. In der Spielzeit 2014/15 war er als Gast am Staatstheater Braunschweig in Im Westen Nichts Neues, am Moks des Theater Bremen in Alice sowie am Schauspielhaus Chemnitz in Gegen die Liebe zu sehen. Sein erstes Festengagement von 2015 bis 2018 führte ihn ans Moks Bremen, wo er u.a. mit den Regisseuren Theo Fransz, Salome Schneebeli sowie dem Kain Kollektiv zusammenarbeitete. Seit der Spielzeit 2018/19 ist Christoph Vetter Mitglied im Schauspielensemble am Theater Lüneburg und war u.a. zu sehen in Die Nibelungen, Die Opferung von Gorge Mastromas und Glaube Liebe Hoffnung, Biedermann und die Brandstifter, Aus Staub und Vögel zu sehen.